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« Démontrer » implique d'établir de façon rigoureuse la vérité d'un énoncé ou d'une idée par la voie de la déduction, en les rattachant par un lien nécessaire à d'autres propositions ou idées évidentes ou déjà démontrées.

Il faut distinguer la démonstration, de la preuve, et de l'argumentation.

• La démonstration est d'ordre rationnel. Elle vise la vérité absolue de la conclusion et s'appuie sur des assertions certaines.

• La preuve est plutôt d'ordre empirique (la découverte de l'arme du crime sur un suspect est une preuve, non une démonstration, de sa culpabilité) ;

• L'argumentation, qui vise seulement à convaincre autrui et prend pour point de départ une idée admise comme vraie par l'auditeur.

De sorte que, si l'on peut argumenter sur tout, il n'est cependant pas certain que l'on puisse tout démontrer.

Le modèle de toute démonstration s'impose dans les mathématiques, plus précisément dans la géométrie euclidienne, qui procède par voie déductive à partir de principes premiers (axiomes, postulats, définitions) : chaque proposition ou théorème nouveaux se trouvent ainsi reliés, de façon déductive et nécessaire, aux principes initiaux.

Ces « longues chaînes de raison dont les géomètres ont coutumes de se servir », selon les termes de Descartes, sont considérées comme un modèle pour l'ensemble des autres sciences, comme aussi pour la philosophie elle-même : suivre le modèle mathématique en physique ou en philosophie, ce serait assurer à celles-ci la même rigueur et, par suite, le même degré de certitude.

C'est pourquoi Spinoza dans l'Ethique, ou Descartes dans les Réponses aux Secondes Objections, procèdent more geometrico, «à la manière des géomètres ».