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Cours / Mathématiques appliquées / BAC PRO

Algèbre (2)

1. Equations du premier degré à une...
2. Equations du premier degré à une...
3. Résolution d'équations du premier...

1. Equations du premier degré à une variable : Problème 1

La résolution d'équations est une notion très importante en mathématiques. Les équations sont parfois plus complexes que les précédentes.

Par exemple, comment résoudre l'équation qui suit ?

3 (2x + 4) = 8x - 8 + 4.

Il faut alors procéder en suivant les étapes suivantes :

réduire à leur plus simple expression, si nécessaire, les expressions algébriques de chaque membre de l'équation ;
regrouper les termes contenant la variable dans l'un des membres de l'équation et les autres termes dans l'autre membre en utilisant la loi de transposition ;
additionner ou soustraire les termes semblables dans chaque membre de l'équation ;
isoler la variable en appliquant les propriétés de la multiplication ou de la division ;
résoudre l'équation ;
vérifier la solution en substituant la valeur numérique à la variable dans l'expression de départ.

Problème: Reprenons une à une les étapes décrites plus haut et appliquons-les à la solution de l'équation :

3 (2x + 4) = 8x - 8 + 4

1. Réduction des expressions algébriques

Appliquons la propriété de la distributivité de la multiplication sur l'addition dans le membre de gauche de l'équation et additionnons les termes semblables dans le membre de droite de l'équation :

Ainsi, l'équation 3 (2x + 4) = 8x - 8 + 4

Devient 6x + 12 = 8x - 4

2. Regroupement de termes semblables

Dans l'équation 6x + 12 = 8x - 4 on retrouve, dans les deux membres de l'équation, un terme contenant la variable et un terme constant.

Il faut donc transposer les termes contenant la variable dans un membre et les termes constants dans l'autre membre.

Généralement, on place les termes contenant la variable dans le membre de gauche.

En appliquant les règles de la transposition, on obtient :

6x + 12 = 8x - 4

6x = 8x - 4 - 12

6x - 8x = - 4 - 12

3. Addition des termes semblables

6x - 8x = - 4 - 12 devient - 2x = - 16

4. Isolement de variable

En appliquant la loi de transposition, on obtient :

- 2x = - 16

x =

x = 8

5. Vérification des résultats

Pour vérifier la solution, il suffit de remplacer la variable de l'équation initiale par sa valeur numérique puis d'effectuer les calculs afin de voir si l'on obtient une égalité. Vérifions la solution :

x = 8

Soit l'équation donnée :

3 (2x + 4) = 8x - 8 + 4

Remplaçons x par 8 :

3 (2 8 + 4) = 8 8 - 8 + 4

3 (16 + 4) = 64 - 8 + 4

3 (20) = 60

60 = 60

La solution est effectivement 8.

Il est possible que la solution d'une équation algébrique soit indéterminée, ou encore, qu'il n'existe aucune solution. Par exemple, si en isolant la variable x, on obtient : 0x + 5 = 5, n'importe quelle valeur peut remplacer la variable x.

On dit alors que la solution est indéterminée.

Cependant, si en isolant cette variable, on obtient 0x = 5, l'équation ne possédera aucune solution,

...

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