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Cours de mathématiques Terminale S - Intervalles de fluctuation

 
Note par nos Maxinautes :  

Objectif(s)
• Connaître, pour n assez grand, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
1. Rappels
En classe de seconde

On définit un échantillon de taille n par la répétition de n épreuves indépendantes d’une même expérience aléatoire à deux issues notées 0 et 1 (épreuve dite de Bernoulli).
La fluctuation d’échantillonnage (phénomène naturel fréquent) invite à se poser la question de la confiance envers les résultats trouvés.

Il est admis :
« pour des échantillons de taille et de proportion p du caractère comprise entre 0,2 et 0,8 : si f désigne la fréquence du caractère dans l’échantillon, f appartient à l’intervalle avec une probabilité d’au moins 0,95. Cet intervalle est nommé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %».

Exemple
Un sondage est réalisé pour avoir une tendance du résultat d’une élection entre deux candidats A et B d’une région. Pour un total de 33 000 électeurs, le sondage portant sur 723 personnes interrogées donne 384 voies au candidat A.
Peut-on considérer que ce candidats sera élu au premier tour car il dépasse 50 % des intentions de vote ?

Taille de l’échantillon : n = 723 (très supérieur à 25).

Fréquence du caractère : , arrondie à 0,531 à 10-3 près, valeur bien supérieure à 50 %.

Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : , valeurs arrondies à 10-3.

Il n’est donc pas certain qu’il soit élu.

On peut remarquer que les instituts de sondage donnent des pourcentages d’intention de vote, sans indiquer la « fourchette » dans laquelle se trouve cette valeur.

En classe de première

Intervalle de fluctuation :
Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n, p), l’intervalle de fluctuation au coefficient 95 % de la fréquence de succès est : où a est le plus petit entier tel que et b le plus petit entier tel que .

Contrairement à la règle de fluctuation de la fréquence vue en seconde, cette propriété est vraie pour toutes valeurs de n et p.
On utilise alors une calculatrice pour déterminer a et b (faire un algorithme, puis un programme est une bonne chose).

Exemple
Sous les mêmes hypothèses que l’exemple précédent (33 000 électeurs, un sondage portant sur 723 personnes interrogées donnant 384 voies au candidat A).
Peut-on considérer que ce candidats sera élu au premier tour car il dépasse 50 % des intentions de vote ?

    • Réponse (revoir l’utilisation d’une calculatrice « obligatoire » pour obtenir les résultats suivants) :
Nous avons n = 723, p = 0,531.
Soit X la variable aléatoire associée à la réponse « Oui » du sondage. Les 723 épreuves sont indépendantes, avec deux issues (on ne comptabilise pas les votes autres que ceux pour les candidats) . La variable suit une loi binomiale .

    • Recherche de l’intervalle :

tout d’abord, comme 723 × 0,531 = 384 (valeur arrondie à l’unité près), a et b seront symétriques par rapport à cette valeur. Il n’est pas utile de rechercher b.

L’utilisation d’une calculatrice donne :
et .
Donc a = 358.

Le pourcentage minimal supposé au seuil de 95 % (la borne inférieure de l’intervalle de fluctuation) est donc à 10-3 près.

L’intervalle n’est pas entièrement situé au dessus de 50 %, donc nous ne pouvons pas être certains du succès de ce candidat.

Remarque

Ce résultat est plus précis que celui obtenu avec la formule apprise en seconde, tout en confirmant son résultat.

En Terminale la formule va encore évoluer et gagner en précision.

2. Intervalle de fluctuation asymptotique (au seuil de 95 %)
Pour une variable aléatoire Xn suivant une loi binomiale B(n ; p) , la variable représente la fréquence de succès. La proportion de succès de l’échantillon de taille n est p.

Définition
L’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable Fn au seuil de 95 % est donné par la formule :

.

Remarque
Conditions d’application : 30 ≤ n, 5 ≤ n × p, et 5 ≤ n × (1-p).
Cette formule (approximation) est établie par expérimentation. Il est demandé de connaître la formule et de savoir l’appliquer.

Exemple
Sous les mêmes hypothèses que l’exemple précédent (33 000 électeurs, un sondage portant sur 723 personnes interrogées donnant 384 voies au candidat A).
Peut-on considérer que ce candidats sera élu au premier tour car il dépasse 50 % des intentions de vote ?

   • Vérifier les conditions : la taille de l’échantillon est très supérieure à 30, 723 × 0,531 est très supérieur à 5, de même que 723 × 0,469 l’est aussi.

   • Utiliser une calculatrice pour obtenir :



.


Remarque

Attention, il faut arrondir à une valeur supérieure pour la borne inférieure et à une valeur inférieure pour la borne supérieure.
 


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