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Cours de mathématiques - Quatrième proportionnelle

 
Note par nos Maxinautes :  

Objectifs
Dans un tableau de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est un nombre manquant à calculer.
Quelles méthodes permettent de calculer une quatrième proportionnelle ? Comment calculer une quatrième proportionnelle avec un produit en croix ?
1. Quatrième proportionnelle
Exemple : Au cinéma, le prix payé est proportionnel au nombre de places achetées.
Compléter le tableau ci-dessous par différentes méthodes :

 

• Méthode 1 : en utilisant le coefficient de proportionnalité

Cherchons dans un premier temps le prix de 7 places. Notons x ce nombre. On obtient le tableau de proportionnalité suivant :
 

Le nombre x cherché dans ce tableau de proportionnalité est appelé quatrième proportionnelle.
On calcule dans un premier temps, le coefficient de proportionnalité : 37,5 ÷ 5 = 7,5.
Ce nombre correspond au prix d’une place de cinéma.

On peut donc calculer le prix de 7 places : x = 7 × 7,5 = 52,5.
Le prix de 7 places de cinéma est donc de 52,50 €.

• Méthode 2 : par addition ou soustraction de deux colonnes

Calculons, à présent le prix y pour 12 places de cinéma. Résumons les données connues dans un tableau de proportionnalité :
On connait le prix payé pour 5 et 7 places de cinéma.
Comme 5 + 7 = 12, on additionne les prix de 5 et 7 places soit :
y = 37,50 + 52,50 = 90.

Le prix de 12 places de cinéma est donc de 90 €.


• Méthode 3 : par multiplication ou division d’une colonne par un nombre non nul

Calculons le prix de 15 places de cinéma :
On connaît le prix pour 5 places de cinéma.
Comme 5 × 3 = 15, on multiplie le prix de 5 places par 3 : 37,5 × 3 = 112,50.

Le prix de 15 places de cinéma est donc de 112,50 €.
2. Produit en croix
Introduction : Considérons le tableau de proportionnalité suivant :


Le coefficient de proportionnalité k qui permet de passer de la deuxième ligne à la première ligne est égal à :

Par conséquent :            

Dans ce tableau de proportionnalité, les produits et sont appelés les produits en croix.

On les symbolise par des flèches formant une croix dans le tableau.

D’après ce qui précède, on en déduit la propriété suivante :

Dans un tableau de proportionnalité, les « produits en croix » sont égaux.
Sur le tableau de proportionnalité précédent, on obtient :

Intérêt : Le produit en croix permet de calculer une quatrième proportionnelle.

Exemple :
Reprenons l’exemple précédent des places de cinéma et cherchons t le nombre de places nécessaires pour payer 67,50€ au total.

On a le tableau suivant :  

Les produits en croix sont égaux donc :

Soit 
D’où 

Avec 67,50 €, on peut acheter 9 places de cinéma.
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