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Cours de mathématiques - Médiane étendue

 
Note par nos Maxinautes :  

Objectifs :
Dans une société dite de « l’information » il est souvent utile de connaître des valeurs qui caractérisent une série statistique. L’étendue, le mode, la médiane et les quartiles sont ces nombres qui permettent de nous renseigner rapidement sur une série statistique. Comment déterminer l’étendue et le mode d’une série statistique ? Comment calculer la médiane et les quartiles d’une série statistique? Ce sont les questions que nous allons aborder dans ce cours.
1. Etendue et mode d'une série statistique
a. L'étendue
L’étendue d’une série statistique

C'est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.

Exemple : Le tableau suivant donne la répartition des places dans un stade selon leur tarif.

Tarif ( € ) 15 20 30 40 100
Quantité (milliers) 5 6 10 11 1

100 - 15 = 85 donc l'étendue de cette série statistique est de 85 €.

b. Le mode
Le mode d’une série statistique

C'est la (ou les) valeur(s) du caractère dont l’effectif est le plus grand.

Remarque importante
Dans une série statistique, il peut y avoir plusieurs modes.

Exemple : Le tableau suivant donne la répartition des salaires mensuels d’une petite entreprise.

Salaire ( € ) 1300 1850 2050 3000
Effectif 3 5 5 2

Cette série statistique admet deux modes : 1850 € et 2050 €.


Cas particulier

Si la série est répartie en classes, on appelle classe modale de la série statistique, une classe dont l’effectif associé est le plus grand.

Exemple : A l’occasion d’une épreuve de saut en hauteur, on a indiqué les résultats des athlètes dans le tableau suivant :

Hauteur (cm) [180 ; 185[ [185 ; 190[ [190 ;195[ [195 ; 200[
Effectif 7 9 5 3

La classe modale est [185 ;190[.

2. La médiane d'une série statistique
a. Définition
La médiane d’une série statistique

C'est un nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif:
- le groupe constitué des valeurs qui sont inférieures ou égales à la médiane ;
- le groupe constitué des valeurs qui sont supérieures ou égales à la médiane.

En pratique
Il faut commencer par classer les n valeurs de la série statistique dans l’ordre croissant. Deux cas sont alors possibles :
- si n est impair, on prend la ème valeur pour médiane
- si n est pair, on prend pour médiane la moyenne entre la ème et la { + 1}ème valeur.

Exemple : Les 9 notes obtenues à un contrôle sont les suivantes :
10 ; 4 ;7 ;12 ;5 ;7 ;8 ;14 ;15.
On commence par classer ces notes dans l’ordre croissant, ce qui donne :
4 ;5 ;7 ;7 ;8 ;10 ;12 ;14 ;15.
Le nombre de notes, 9, étant impair, on prend pour médiane la note. C'est à dire 8.

Exemple : Dans un groupe de 8 personnes on relève par ordre croissant la taille de chaque personne.
On obtient les valeurs suivantes en cm : 160 ; 165;167 ; 170 ; 176; 180 ; 182 ; 185.
Le nombre de personnes, 8, étant pair, on prend pour médiane la moyenne entre la note (c'est-à-dire 170) et la note (c'est-à-dire 176).
La médiane vaut donc

b. Détermination graphique de la médiane
• La médiane peut s’obtenir à partir du diagramme en bâtons des effectifs cumulés croissants.

Exemple : Le tableau suivant donne la répartition des 70 familles d’un village selon le nombre d’enfants de moins de 18 ans.

Nombre d'enfants 0 1 2 3 4
Nombre de familles 15 18 22 10 5
Effectifs cumulés croissants 15 33 55 65 70


. La 35ème valeur est 2, la 36ème valeur est aussi 2 donc le nombre médian d’enfants dans ce village est de 2.


• Dans le cas des séries définies par des regroupements en classe, la médiane s’obtient à partir de la courbe des effectifs cumulés croissants ou à partir de la courbe des fréquences cumulées croissantes.

Exemple : On a relevé la taille des élèves d’un club de sport. Les résultats ont été regroupés par classes. Le tableau suivant donne les fréquences de chacune des classes.

Taille (cm)
 
[145 ; 155[ [155 ; 165[ [165 ; 175[ [175 ; 185[
Fréquence 0,15 0,3 0,35 0,2
Fréquences cumulées croissantes 0,15 0,45 0,80 1

La médiane est la valeur qui correspond à la fréquence cumulée 0,5. Dans cet exemple elle vaut environ 163 cm.

3. Les quartiles d'une série statistique
Les valeurs d’une série statistique étant rangées par ordre croissant :

Le premier quartile, généralement noté Q1, est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins un quart des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Le troisième quartile, généralement noté Q3, est la plus petite de la série pour laquelle au moins trois quarts des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Exemple : En cours d’EPS on a relevé les lancers du javelot d’une classe de 30 élèves. Le tableau suivant rassemble les résultats de la classe.

Longueur (mètres) 38 39 40 41 43 45
Effectif 4 7 10 5 2 2

= 7,5. Au moins un quart des valeurs de la série doivent être inférieures ou égales à Q1.
Q1 correspond à la 8ème valeur de la série classée dans l’ordre croissant. Soit Q1= 39 m
Au moins trois quarts des valeurs de la série doivent être inférieures ou égales à Q3.
Q3 correspond à la 23ème valeur de la série classée dans l’ordre croissant. Soit Q3= 41 m

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