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Cours de mathématiques - Encadrement et valeur approchée

Note par nos Maxinautes :  

Objectifs
Afin de donner une valeur approchée de certains nombres décimaux, il est parfois intéressant de les encadrer avec précision.
Comment encadre-t-on un nombre décimal ? Quelles sont les différentes manières d'en donner une valeur approchée ?
1. Encadrement d'un nombre
Encadrer un nombre, c’est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre.

Exemple
1
Un encadrement de 14,254 par deux entiers est :
4 < 14,254 < 17.

On dit que 14,254 est encadré par 4 et 17. Il existe une infinité d’encadrements de 14,254 par deux entiers.

Exemple 2
Donner un nombre compris entre 12,87 et 12,88.

Un nombre compris entre 12,87 et 12,88 est 12,876. En effet, on peut écrire :
12,87 < 12,876 < 12,88.
On a donc trouvé un nombre encadré par 12,87 et 12,88.

On peut encadrer un nombre avec une certaine précision. Soit a, b et c trois nombres tels que a < b < c.
• Si c − a = 1, on dit que l’encadrement est à l'unité près.
Exemple
14 < 14,254 < 15. C’est un encadrement à l’unité près car 15 − 14 = 1.

• Si − 0,1, on dit que l’encadrement est au dixième près.
Exemple
14,2 < 14,254 < 14,3. C’est un encadrement au dixième près car 14,3 − 14,2 = 0,1.
De la même manière on peut déterminer des encadrements au centième, au millième…
2. Valeurs approchées
Donner la valeur approchée d'un nombre avec une certaine précision revient à chercher un nombre « assez proche» du nombre de départ.

a. Valeur approchée par excès ou par défaut
D'après les encadrements à l'unité, au dixième…, on peut donner des valeurs approchées par excès ou par défaut.

Exemple
• 14 < 14,2546 < 15. De cet encadrement de 14,2546, on peut donner des valeurs approchées à l’unité près :
14 est la valeur approchée par défaut de 14,2546 à l’unité près. 15 est la valeur approchée par excès de 14,2546 à l’unité près.
• 14,2 < 14,2546 < 14,3. De cet encadrement de 14,2546, on peut donner des valeurs approchées au dixième près :
14,2 est la valeur approchée par défaut de 14,2546 au dixième près. 14,3 est la valeur approchée par excès de 14,2546 au dixième près.

De la même manière, on peut déterminer des valeurs approchées par excès ou par défaut au centième, au millième…
b. Troncature
La troncature d'un nombre à l'unité (au dixième, au centième) est le nombre obtenu après avoir supprimé tous les chiffres après les unités (les dixièmes, les centièmes…).
Remarque : La troncature d'un nombre décimal en est une valeur approchée.

Exemple
La troncature à l'unité de 14,2546 est 14 et la troncature au dixième de 14,2546 est 14,2.
c. Arrondi d'un nombre
L'arrondi d'un nombre au dixième est le nombre décimal à un chiffre le plus proche de ce nombre.
Remarque : L'arrondi d'un nombre en est une valeur approchée.

Exemple
L’arrondi à l'unité de 14,2546 est 14 car 14,2546 est plus proche de 14 que de 15. L’arrondi au dixième de 14,2546 est 14,3 car 14,2546 est plus proche de 14,3 que de 14,2.

Méthode pour arrondir au dixième
• On regarde le chiffre des centièmes.
• Si ce chiffre est 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4, on prend la valeur approchée au dixième par défaut.
• Si ce chiffre est 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9, on prend la valeur approchée au dixième par excès.
On peut appliquer cette méthode pour un arrondi à l'unité, au centième…
d. Valeur exacte et valeur approchée
Exemple

Pour donner un ordre de grandeur à ce nombre, on prend une valeur approchée. Par exemple 0,33 est une valeur approchée de cette fraction.
La valeur exacte de ce nombre est son écriture sous forme de fraction :
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