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A la suite de cette étude,vous devriez retenir plusparticulièrement les points suivants.

- Une table de vérité d'unefonction logique combinatoire est composée d'autant de lignesqu'il y a de combinaisons possibles des variablesd'entrée.

- Le nombre des combinaisonspossibles est égal à deux exposant le nombre de variablesindépendantes. Avec deux variables, il y a 2² = 4 combinaisons,avec trois variables, il y a 2³ = 8 combinaisons etavec quatre variables, il y a 2⁴ = 16combinaisons.

- Les combinaisons sont énuméréesen comptant en binaire, ceci évite les oublis.

- A chaque ligne de la table devérité correspond un minterm. Si une variable est à l'étatlogique 0 à cette ligne elle est remplacée par sa négationalors que si elle vaut 1, elle est remplacée par son nom dansl'expression du minterm.

- L'expression logique d'unefonction peut être obtenue à partir de la somme de tous lesminterms où la fonction vaut 1. On obtient alors uneexpression de la forme "S.O.P."(somme deproduits).

- A chaque ligne d'une table devérité correspond un maxterm. Un maxterm est une additionlogique des variables booléennes. Dans une ligne, si une variablevaut 0, elle est remplacée par son nom dans l'expression dumaxterm. Quand elle vaut 1, elle est remplacée par sanégation.

- Une expression d'une fonctionlogique sous la forme "P.O.S."(produit de sommes) est obtenueen multipliant tous les maxterms pour lesquels la fonctionvaut 0.

Dans cette étude, vous avez appris àétablir la table de vérité d'une fonction logique et à écrire sonexpression sous deux formes :

• "somme de produits" et "produits desommes".

Une étude vous permet d'apprendre àsimplifier les expressions des fonctions logiques à l'aide desrègles et des théorèmes de l'algèbre booléenne.

Simplification par laméthode de Karnaugh :

La conception des circuits logiquesexige des simplifications successives. L'objectif principal de cette simplification est deréduire le nombre de cellules logiques exigées pour réaliser unefonction particulière. Ceci permetde réduire les circuits et les coûts.

L'algèbre booléenne est un bon moyen d'yarriver. Mais il est difficile de simplifier de longues équations.De plus, l'algèbre booléenne laisse parfois échapper certainespossibilités de simplification.

Dans cette étude, vous allez vousfamiliariser avec la méthode de Karnaugh. La méthode de Karnaughest une méthode semigraphique de simplification des circuitslogiques combinatoires.

Vous apprendrez premièrement commentconstruire une table (ou tableau) de Karnaugh pour écrire uneexpression booléenne.

Ensuite, vous maîtriserez la méthode desimplification de circuits logiques à partir de la lecture destables de Karnaugh.

Construction de la table de Karnaugh:

Comme la table de vérité,la table de Karnaugh est une méthoded'écriture de l'expression d'une fonctionlogique.

L'avantage principal de la table deKarnaugh par rapport à la table de vérité est qu'elle permet unemeilleure visualisation des propriétés de l'adjacencelogique.

Forme de la table de Karnaugh:

La table de Karnaugh est une grillecomposée d'un certain nombre de cases. Chaque case est réservée à un minterm de lafonction logique. Comme le nombre des minterms est égalà deux exposant le nombre des variables indépendantes, le nombredes cases dans une table de Karnaugh est lui aussi égal à deuxexposant le nombre des variables de la fonction.

Par exemple, pour une fonction logique àdeux variables indépendantes, le nombre de cases est égalà 2² = 4 cases. Pourtrois variables, on aura 2³ = 8 cases et pourquatre variables, 2⁴ = 16cases.

Les parties a, b et cde lafigure suivante montrentrespectivement la table de Karnaugh des fonctions à deux, trois etquatre variables indépendantes.

Table de Karnaugh de fonctions àdeux, trois et quatre variables :

Pour deux variablesindépendantes, la table de Karnaugh est un carré à quatrecases tel que le présente lapartie a de la figure ci-dessus.

Quand il s'agit de troisvariables, la table de Karnaugh est un rectangle à huitcases comme le montre lapartie b de la figure ci-dessus.

La partie c de lafigure ci-dessus vous fait voirune table de Karnaugh à quatre variables, c'est donc uncarré à seize cases.

Disposition des minterms dans une table deKarnaugh :

Un minterm est dit adjacent à un autreminterm si leurs expressions ne diffèrent que d'une seule variablequi se présente sous la forme directe dans l'un et dans la formecomplémentée dans l'autre.

Par exemple, pour une fonction à deuxvariables a et b, les minterms et sont dit adjacents puisqu'ils ne diffèrent que de lavariable b.

Cette variable est présente sous saforme directe b dans m₁ et sous sa formecomplémentée  dansm₀. Ladisposition des minterms dans une table de Karnaugh est telle quechacun des minterms est voisin de ses mintermsadjacents.

Table de Karnaugh à deux variables d'entrée:

Avec deux variables a et b, on disposede quatre cases dans la table de Karnaugh. Chaque case doit représenter une combinaison parmitoutes les combinaisons possibles avec deux variables. Le tableaude la figuresuivante présente cette tablede Karnaugh à deux variables.

Table de Karnaugh d'une fonction àdeux variables d'entrée :

Dans cette table, vous remarquez quetoutes les combinaisons avec deux variables ont été prévues.La table est, en effet, divisée dans le sens de la hauteuren deux colonnes. Lapremière est pour ou "NON a" (a = 0) et ladeuxième pour le a (a = 1).

Dans le sens de la largeur, elleest divisée en deux lignes, la première est réservéeà ou"NON b" (b = 0) alors que la deuxièmeconcerne le b (b = 1).

Ainsi, chaque case correspond à unecombinaison. Dans la première case, on a , c'est leminterm m₀. La casejuste en bas représente la combinaison , soit le minterm m₁. La troisième case, en haut àdroite, représente la combinaison , soit le minterm m₂. La dernière case est réservéeaux conditions où a = 1 et b = 1, soit leminterm a · b, m₃.

Chaque minterm de cette table deKarnaugh ne diffère du minterm voisin, à la verticale ou àl'horizontale, que d'une seule variable. Ce sont donc desminterms adjacents.

Table de Karnaugh à trois variables d'entrée:

Avec trois variables d'entrée a, b etc, il y a 2³ = 8 cases dans unetable de Karnaugh. Les minterms sontdisposés selon le principe montré à la figure suivante.

Cette disposition fait en sorte quechaque minterm soit voisin géographiquement de ses mintermsadjacents. On utilise le code réfléchi (codeGray).

Table de Karnaugh d'une fonction àtrois variables d'entrée :

La première ligne de cette tablecorrespond à . Cette ligne interceptequatre colonnes où on a respectivement  ET ,  ET b, a ET bet a ET . C'estla même chose pour la deuxième ligne où on ac (c = 1).

Tous les minterms de cette table sontadjacents aux minterms contenus dans les cases qui leurs sontvoisines à l'horizontale et à la verticale. Ainsi, vous voyezque :

- m₀ : est voisin du minterm m₂ : à l'horizontale et dem₁ : à la verticale, quisont tous deux des termes adjacents à m₀ ;

- m₁ : est voisin de m₀ : à la verticale et dem₃ : à l'horizontale, quisont tous deux des termes adjacents à m₁ ;

- m₂ : est voisin à l'horizontale de m₀ : et de m₆ : . A la verticale, ilest voisin de m₃ : qui lui est aussiadjacent ;

- Les minterms voisins dem₃ :sont m₁ : et m₇ :(a · b · c) à l'horizontale, et m₂ : à la verticale. Cestrois termes lui sont adjacents ;

- Pour m₆ : , les termes voisins sont m₂ : et m₄ : à l'horizontale et leminterm m₇ :(a · b · c) à la verticale. Ces trois mintermslui sont adjacents ;

- m₇ :(a · b · c) est voisin de m₃ : et m₅ : à l'horizontale et dem₆ : , à la verticale. Tousces minterms sont adjacents à m₇ ;

- m₄ : est adjacent à m₆ : à l'horizontale et dem₅ : , son voisin à laverticale ;

- Pour m₅ : , les cases voisines contiennent m₄ : à la verticale etm₇ :(a · b · c) à l'horizontale. Ces deux mintermssont adjacents à m₅.

Remarque : unereprésentation de la table (ou tableau) de Karnaugh consiste àreprésenter pour chaque variable son état "1" par un trait continufort sur les cotés de la table.

Table de Karnaugh à quatre variables d'entrée:

Pour quatre variables d'entrée, a, b,c et d, une table de Karnaugh doit avoir 2⁴ = 16cases. Ce nombre correspond aunombre de combinaisons possibles avec quatre variables d'entrée. Letableau de lafigure suivante montre ladisposition des minterms à l'intérieur d'une table de Karnaughd'une fonction à quatre variables d'entrée.

Table de Karnaugh d'une fonction àquatre variables d'entrée :

Chaque variable est à l'étatlogique 1 pour huit combinaisons possibles et elle est àl'état logique 0 pour les huit autrescombinaisons.

La propriété principale de cettedisposition est que tous les minterms voisins sont adjacentslogiquement.

Passage de la table de vérité à la table deKarnaugh :

Maintenant que vous avez appris àconstruire une table de Karnaugh et à assigner à chaque case leminterm correspondant, vous pouvez vous demander comment on peutlire l'expression d'une fonction logique à partir de la table deKarnaugh.

Vous savez qu'une fonction logique peutvaloir 1 pour certains minterms et 0 pourd'autres.

La condition de la présence d'un mintermdans l'expression de la fonction est que la fonction vaut 1dans la ligne de la table de vérité correspondante à ce minterm. Lemême principe s'applique à la table de Karnaugh.Si une fonction vaut 1 à une casequelconque de la table de Karnaugh, le minterm associé à cette caseapparaît dans l'expression de cette fonction.

Voyez maintenant, à l'aide d'exemples,comment on passe de la table de vérité à la table de Karnaugh pourécrire l'expression d'une fonction logique.

Exemple de fonction à deux variablesd'entrée

La figure suivante montre la table de vérité d'une fonction logique F àdeux variables d'entrée a et b. Cette fonction vaut 1pour les minterms m₀et m₁.

Table de vérité de lafonction F à deux variables d'entrée :